Метод сопряженных градиентов MatLab

4453
0
0

Урок 16. Численные методы Элементарные средства решения СЛУ
Функции для решения систем линейных уравнений с ограничениями
Решение СЛУ с разреженными матрицами
Точное решение, метод наименьших квадратов и сопряженных градиентов
Двунаправленный метод сопряженных градиентов
Устойчивый двунаправленный метод
Метод сопряженных градиентов
Квадратичный метод сопряженных градиентов
Метод минимизации обобщенной невязки
Квазиминимизация невязки - функция qmr
Вычисление нулей функции одной переменной
Минимизация функции одной переменной
Минимизация функции нескольких переменных
Аппроксимация производных
Аппроксимация Лапласиана
Аппроксимация производных конечными разностями
Вычисление градиента функции
Численное интегрирование
Метод трапеций
Численное интегрирование методом квадратур
Работа с полиномами
Умножение и деление полиномов
Вычисление полиномов
Вычисление производной полинома
Решение полиномиальных матричных уравнений
Разложение на простые дроби
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Решатели ОДУ
Использование решателей систем ОДУ
Описание системы ОДУ
Дескрипторная поддержка параметров решателя
Пакет Partial Differential Equations Toolbox
Что нового мы узнали?

Итерационный метод сопряженных градиентов реализован функцией peg: О рсд(А.В) — возвращает решение X СЛУ А*Х=В. Матрица А должна быть квадратной, симметрической [ В нашем примере матрица А — несимметрическая, т. е. A(i,j)—*A(j,i). — Примеч. ред. ]   и положительно определенной [ Матрица называется положительно определенной, если все ее собственные значения (характеристические числа) действительные и положительные. — Примеч. ред. ]. Функция pcg начинает итерации от начальной оценки, представляющей собой вектор размером п, состоящий из нулей. Итерации производятся либо до сходимости решения, либо до появления ошибки, либо до достижения максимального числа итераций. Сходимость достигается, если относительный остаток norm(b-A*X)/norm(B) меньше или равен погрешности метода (по умолчанию 1е-6). Максимальное число итераций — минимум из п и 20. Функция pcg(...) имеет и ряд других форм записи, описанных для функции bieg(...). Пример:

» pcg(A.B)

Warning: PCG stopped after the maximum 4 iterations 

without converging to the desired tolerance le-006

The iterate returned (number 4) has relative residual 0.46 

> In C:\MATI_AB\toolbox\matlab\sparfun\pcg.m at line 347 

ans =

1.7006

1.2870

-2.0535

8.2912

В данном случае решение к успеху не привело, поскольку матрица А —несимметрическая. Новая функция rrrinres не требует, чтобы матрица А была положительно определенной. Достаточно, чтобы она была квадратной и симметрической. В отличие от peg минимизируется не относительная невязка, а абсолютная. Но и эта функция не может решить наш пример:

» minres(A.В.1е-6.1000000)

minres stopped at iteration 1000000 without converging 

to the desired tolerance le-006 

because the maximum number of iterations was reached. 

The iterate returned (number 1000000) has relative residual 0.011 

ans =

1.9669

3.7757

3.0789

1.9367

В MATLAB 6 появилась еще одна новая функция symmlq, которая использует LQ-алгоритм итерационного метода сопряженных градиентов и также не требует, чтобы ее входной аргумент — квадратная симметрическая матрица — была положительно определенной. Эта функция тоже не может решить наш пример, так как наша матрица А — квадратная, но не симметрическая.

 

Теги MatLab САПР


    Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

    При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.1868 s