Простадоз
Простадоз
neoapteka.ru

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости

617
0
19 мая 2009
3.3 Уравнения линий в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой. Общие уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения прямой и плоскости.

3.3.1. Уравнения линий в пространстве

Линию в пространстве можно определить в виде линии пересечения двух поверхностей. Если линии определены уравнениямиuravne_html_1fd3b119.gifиuravne_html_6cf1419e.gif, то система этих уравнений задаёт уравнения линии пересечения поверхностей:

uravne_html_1242a00c.gif

Так, уравнения осей координат:

uravne_html_b36a64d.gif,uravne_html_36ed9d3c.gif, uravne_html_3e23ecb9.gif.

Перейдём к материалу о прямой в пространстве.

3.3.2. Канонические и параметрические уравнения прямой

Положение прямойuravne_html_2c8e1fce.gifв пространстве должным образом определяется заданием т.uravne_html_2c8e1fce.gif.

Обозначим черезuravne_html_2c8e1fce.gif(рис. 3.8).

Тогдаuravne_html_m5e32eec.gif.

uravne_html_1b490978.gif

Рис. 3.8

Эти уравнения прямойuravne_html_2c8e1fce.gifименуют каноническими. Если приравнять эти отношения параметруuravne_html_m67682fd2.gifи определитьuravne_html_m67682fd2.gif, то будем иметь параметрические уравнения прямой:

uravne_html_m1a5b49e3.gif(3.3)

В евклидовом пространстве c ортонормированным базисом канонические уравнения прямой записываются как,

uravne_html_4e134997.gif— направляющий вектор.

Допустим заданы две точкиuravne_html_2c8e1fce.gif. В этом случаеuravne_html_m77e2d3fc.gif, получаем уравнения прямой, которая проходит через заданные точки: uravne_html_m37a56433.gif.

Например, уравнение прямой, которая проходит через две заданные точкиuravne_html_m7ff7730.gif, uravne_html_61ccd39f.gif:

uravne_html_215c171e.gif.

3.3.3. Общие уравнения прямой

Проанализируем систему из двух уравнений I степени:

canon_html_28e134c8.gif(3.4)

Каждое из уравнений системы является определителем плоскости в пространстве, а вся система, при условии непараллельности плоскостей, — прямую, по которой они пересекаются. Эти уравнения именуют общими уравнениями прямой. Направляющий вектор подобной прямой определяется по формулеcanon_html_m62eeb53c.gif, гдеcanon_html_m70c2ca6d.gif,canon_html_m31b5d179.gif— нормальные векторы плоскостей.

Задача. Даны общие уравнения прямойcanon_html_2c8e1fce.gif:canon_html_114bd567.gif

Вывести её канонические уравнения.

? Определяем направляющий векторcanon_html_m19378b2.gif.

Для определения координат опорной т.canon_html_2c8e1fce.gif, имеем систему для определенияcanon_html_m1b364c3f.gif,canon_html_m3ae8551f.gif:

canon_html_3226f8be.gif

Следовательно, канонические уравнения прямойcanon_html_2c8e1fce.gifимеют следующий вид:

canon_html_72ddd64e.gif?

3.3.4. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности

Под угломugolv_html_m60e20396.gifмежду двумя прямыми в пространстве примем угол между их направляющими векторамиugolv_html_2c0fad4b.gifиugolv_html_md3d2977.gif, то естьugolv_html_4d2d31fc.gif.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых выводятся из условий параллельности векторовugolv_html_2c0fad4b.gifиugolv_html_md3d2977.gif:ugolv_html_595c2cfb.gif; ugolv_html_m59bcb1db.gif

3.3.5. Угол между прямой и плоскостью

О: Угломugolv_html_m60e20396.gifмежду прямой и плоскостью именуется любой из двух смежных углов, который образован прямой и её проекцией на плоскость.

Пусть имеются направляющий вектор прямойugolv_html_96b92b9.gifи нормальный вектор плоскостиugolv_html_m6182eaf8.gif. Тогда (рис. 3.9)ugolv_html_m637f6d9d.gif

ugolv_html_m15851130.gif

Рис. 3.9

Условия параллельности и перпендикулярности записываются в видеugolv_html_66189b6d.gif, ugolv_html_44a65bb2.gif.

3.3.6 Точка пересечения прямой и плоскости

Если даны канонические уравнения прямой и общее уравнение плоскости, то в таком случае для того чтобы найти точки пересечения следует решить следующую систему: ugolv_html_d3df4b8.gif

Каждое из отношений канонических уравнений приравнивается параметруugolv_html_m67682fd2.gifи подставляются уравненияugolv_html_m58ef9fe8.gifв уравнение плоскости:ugolv_html_4f0f885b.gif.

Если есть точка пересечения, то естьugolv_html_m67682fd2.gif:ugolv_html_m58ef9fe8.gif— координаты точки пересечения.

Задача. Найти т.ugolv_html_m25397c7b.gifпересеченияugolv_html_m22678792.gif:ugolv_html_m296843de.gifиugolv_html_2c8e1fce.gif:ugolv_html_62198c6f.gif.

?Имеемugolv_html_3ee54b1c.gif?



(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.
868 0
(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом. Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.
2179 0
(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа.
2499 0

    Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

    Радиомастер
    © 2005–2013 radiomaster.ru
    admin@radiomaster.ru
    При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.3813 s